ভেক্টর A = 2i -j + 2k-এর সমান্তরাল একক ভেক্টরটি নির্ণয়

আমরা জানি ভেক্টর হলো একটি রাশি যার একটি মান এবং দিক রয়েছে। ভেক্টর দুই ধরণের হয় একটি অভেদী এবং অন্যটি সমান্তরাল একক ভেক্টর। অনেক সময় আমাদের ভেক্টর জ্যামিতিক সমস্যা সমাধান করতে একটি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করতে হয়। এই প্রবন্ধে আমি তোমাদের ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করার পদক্ষেপ গুলো বর্ণনা করব। এছাড়াও এখানে আমি কয়েকটি উদাহরণ দেব ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করার জন্য। প্রবন্ধটি পড়ার পর তোমরা নিজেরাই যেকোন ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করতে পারবে। তাই চলো শুরু করা যাক।

ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর কী?

ভেক্টর A = 2i -j + 2k-এর সমান্তরাল একক ভেক্টর খুঁজতে হলে প্রথমে এই ভেক্টরটিকে একক ভেক্টরে রূপান্তর করতে হবে। এ জন্য ভেক্টরটির মান নির্ণয় করতে হয়।

ভেক্টর A-এর মান হল:
|A| = √(2² + (-1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

এখন ভেক্টর A-এর একক ভেক্টর হল:
n = A/|A| = (2i – j + 2k)/3

তবে সমান্তরাল একক ভেক্টরের মান 1 হয়। অতএব, ভেক্টর A-এর সমান্তরাল একক ভেক্টর হল:
u = n/|n| = [(2i – j + 2k)/3]/1 = 2i/3 – j/3 + 2k/3

ভেক্টর A এর সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয়ের পদক্ষেপ

ভেক্টর A এর সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয়ের পদ্ধতিগুলি নিম্নরূপ:

প্রথমে, ভেক্টর A এর মাত্রা গণনা করুন:

|A| = √(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = √9 = 3

এবার, ভেক্টর A কে একক ভেক্টর আকারে রূপান্তরিত করুন:

u = A/|A| = (2/3)i – (1/3)j + (2/3)k

এটি ভেক্টর A এর সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর।

A ভেক্টরের দৈর্ঘ্য নির্ণয়

ভেক্টর A-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

ভেক্টর A-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে, আমাদের নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে:

দৈর্ঘ্য = √(x^2 + y^2 + z^2)

এখানে, x, y ও z হল ভেক্টরের তিনটি উপাদান।

ভেক্টর A = 2i -j + 2k-এর জন্য, উপাদানগুলো হল x = 2, y = -1 এবং z = 2।

তাই, ভেক্টর A-এর দৈর্ঘ্য হল:

দৈর্ঘ্য = √(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

সুতরাং, ভেক্টর A = 2i -j + 2k-এর দৈর্ঘ্য 3।

A ভেক্টরের একক ভেক্টর নির্ণয়

একটি ভেক্টরের একক ভেক্টর নির্ণয়:

ভেক্টর A = 2i – j + 2k এর সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করতে প্রথমে ভেক্টর A এর মাত্রা নির্ণয় করতে হবে। ভেক্টর A এর মাত্রা হল √(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = √9 = 3। এখন ভেক্টর A এর একক ভেক্টর হবে:

u = A / ||A||
= (2i – j + 2k) / 3
= (2/3)i – (1/3)j + (2/3)k

তাই ভেক্টর A এর সমান্তরাল একক ভেক্টর হল (2/3)i – (1/3)j + (2/3)k।

A ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয়

একটি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে আমরা সেই ভেক্টরটিকে একক ভেক্টরে রূপান্তর করবো। একটি ভেক্টরকে একক ভেক্টরে রূপান্তর করতে, আমরা সেই ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য দ্বারা ভাগ করি। ভেক্টর A = 2i -j + 2k-এর দৈর্ঘ্য হল √(2² + (-1)² + 2²) = √9 = 3। তাই, ভেক্টর A-এর একক ভেক্টর হবে:

A/|A| = (2i -j + 2k)/3 = (2/3)i - (1/3)j + (2/3)k

এবার, আমরা এই একক ভেক্টরটিকে ভেক্টর A-এর সমান্তরাল করতে চাই। একটি ভেক্টরকে অন্য একটি ভেক্টরের সমান্তরাল করতে, আমরা দুটি ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট গণনা করি। দুটি ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট যদি ধনাত্মক হয়, তবে দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হবে। ভেক্টর A এবং ভেক্টর A-এর একক ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট হল:

A . (A/|A|) = (2i -j + 2k) . ((2/3)i - (1/3)j + (2/3)k) = (4/3) - (1/3) + (4/3) = 7/3

যেহেতু ডট প্রোডাক্ট ধনাত্মক, তাই ভেক্টর A এবং ভেক্টর A-এর একক ভেক্টর সমান্তরাল। তাই, ভেক্টর A-এর সমান্তরাল একক ভেক্টর হল:

(2/3)i - (1/3)j + (2/3)k

উদাহরণ ও অ্যাপ্লিকেশন

দেওয়া ভেক্টর A = 2i – j + 2k এর দিক নির্দেশক কোসাইন হলো,
cosα = A . i / |A| |i| = (2 * 1 – 1 * 0 + 2 * 0) / √(2^2 + (-1)^2 + 2^2) * √(1^2 + 0^2 + 0^2)
= 2/3
cosβ = A . j / |A| |j| = (2 * 0 – 1 * 1 + 2 * 0) / √(2^2 + (-1)^2 + 2^2) * √(0^2 + 1^2 + 0^2)
= -1/3
cosγ = A . k / |A| |k| = (2 * 0 – 1 * 0 + 2 * 1) / √(2^2 + (-1)^2 + 2^2) * √(0^2 + 0^2 + 1^2)
= 2/3

এখন, A এর সমান্তরাল একক ভেক্টর হলো,
u = cosα * i + cosβ * j + cosγ * k
= 2/3 * i – 1/3 * j + 2/3 * k